بررسی برآوردگرهای ماکزیمم درستنمایی گوسین در مدل arma برای داده های فضایی

در بسیاری از مباحث و تئوری های آماری، وجود فرض استقلال، محاسبات را راحت تر و قابل فهم تر می کند. با این وجود، بررسی مدل هایی که وابستگی آماری را شامل می شوند، دقیق تر و به واقعیت نزدیک تر هستند. این مدل ها، میدان کوچکی برای داده های فضایی پیشنهاد می کنند که وابستگی را در همه جهات از خودشان نشان می دهند. اگر وابستگی مشاهدات، تابعی از فاصله بین موقعیت مشاهدات بوده، به گونه ای که مشاهدات هر چقدر به هم نزدیک تر، وابستگی بین آنها بیشتر باشد؛ این مشاهدات داده های فضایی را تشکیل می دهند. به دلیل وجود همبستگی فضایی بین داده ها، روش های معمول آماری مفید نمی باشد و لازم است این داده ها را با در نظر گرفتن همبستگی بین داده ها، در حوزه آمار فضایی بررسی کرد. در این رساله، قصد داریم مدل اتورگرسیو و میانگین متحرک (arma) را برای داده های فضایی مورد مطالعه و بررسی قرار دهیم. سری های فضایی می تواند به عنوان تعمیمی از سری های زمانی مورد مطالعه قرار گیرد؛ اگر چه ویژگی های ذاتی آن باعث می شود تحلیل آن متفاوت از سری زمانی باشد. سری زمانی، یک سویه و با یک نظم طبیعی از گذشته به آینده است. این ترتیب برای سری های فضایی کلی وجود ندارد. برای رفع این مشکل دو گونه رابطه ترتیب تعریف می شود. توضیح آنکه در یک نگرش نقاط بزرگتر یا مساوی مبدا، نمایش نیمی از فضا را و در دیگری نمایش ربعی از فضا را نشان می دهند. این دو نوع نگرش به دو نوع تئوری منجر خواهد شد. ما در بررسی داده های فضایی از نگرش اول استفاده خواهیم کرد. با توجه به این نگرش، قضایا و نتایج کلیدی سری-های زمانی قابل تعمیم به سری های فضایی می باشند. لذا در ابتدا به مطالعه مدل arma برای داده های سری زمانی پرداخته و خواص مجانبی آن را بررسی می کنیم. سپس تعمیم این نتایج برای مدل arma در داده های فضایی را بیان می کنیم. تحت فرض کازالیتی و وارون پذیری مدل arma برای داده های سری زمانی، برآوردگرهای ماکزیمم درستنمایی گوسین پارامترهای مدل را محاسبه کرده و با ارائه چند لم و یک قضیه نشان می دهیم که این برآوردگرها سازگار می باشند. برای مطالعه رفتار مجانبی این برآوردگرها، تابع درستنمایی را بر حسب نوآورها بیان کرده و با ارائه یک قضیه، رفتار به طور مجانبی نرمال برآوردگرهای مدل را در حوزه زمان به طور مستقیم اثبات می کنیم. حال برای تعمیم این نتایج به فرایندهای فضایی دو بعدی، مدل arma فضایی را تحت ترتیب یک سویه تعریف می کنیم. برای یک نمونه از مدل فضایی، در حالتی که حجم نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد، تعداد نقاط مرزی زیاد می شود. بنابراین اثر لبه باعث ایجاد مشکل می شود. در این موارد، فرایندهای یک بعدی و چند بعدی تمایز دارند. برای کنترل اثر لبه، اصلاحات مختلفی وجود دارد. در این رساله، به بیان یک روش برای اصلاح اثر لبه می پردازیم. سپس با فرض کازال و وارون پذیر بودن مدل arma فضایی و با استفاده از روش ماکزیمم درستنمایی، برآوردگرهای اصلاح شده ی پارامترهای مدل را محاسبه می کنیم. در ادامه، با بیان چند قضیه و لم، نشان می دهیم که این برآوردگرها سازگار بوده و در حالت مجانبی از توزیع نرمال تبعیت می کنند. رشته هایی که با داده هایی از موقعیت فضایی متفاوت کار می کنند، از جمله اقتصاد، زمین شناسی، اپیدمیولوژی نیاز به مدلی دارند که وجود همبستگی بین اندازه ها در موقعیت های متفاوت را نشان دهد. لذا بر آن شدیم تا کاربرد مدل arma فضایی را در یکی از این علوم مورد مطالعه قرار دهیم. اقتصادسنجی فضایی به مطالعه ارتباط فضایی بین متغیرهای مختلف می پردازد. برای نشان دادن این ارتباط، از عملگرهای تاخیر فضایی استفاده می شود. این عملگر مشابه با عملگر بازگشتی در آنالیز سری زمانی می باشد؛ با این تفاوت که مشاهدات را با محدودیت بیشتری روی شبکه های فضایی حرکت می دهد. در مسائل کاربردی اقتصادسنجی فضایی و آمار فضایی، نیازی به ساخت عملگر تاخیر فضایی به ازای تمامی ترتیب های ممکن همسایگی نمی باشد. به دلایل اقتصادی، یافتن کوتاهترین مسیر بین واحدهای فضایی از اهمیت بالایی برخوردار است. برای ساخت عملگرهای تاخیر فضایی و یافت کوتاهترین مسیر بین واحدهای فضایی چند الگوریتم را معرفی می کنیم و مدل arma فضایی برای داده-های اقتصادسنجی را بر مبنای این عملگرها می سازیم. در حقیقت، به جای اینکه تنها روی ارتباط بین داده های جمع آوری شده تمرکز کنیم، از مدل های نظری آماری برای درک چگونگی تغییرات در داده ها از طریق تجزیه و تحلیل های آمار فضایی استفاده می کنیم.